Геометрический подход к индексному факторному анализу

В данной статье представлен авторский подход к статистическому индексному факторному анализу как альтернатива классическому способу.

Широкое распространение в экономике и статистике получил метод индексного факторного анализа, с помощью которого выявляется влияние отдельных факторов на изменение сложного явления.

Например: в базисном периоде было реализовано 100 ед.товара по цене 5 руб./ед., а в отчетном – 150 ед.товара по 7 руб./ед. Факторный анализ в данном примере – это определение насколько изменилась выручка от реализации товара в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет каждого фактора (изменение цены и изменения количества реализованного товара) в отдельности. Обозначим цену товара «p», количество – «q», а выручку – Q = pq. Эти данные, относящиеся к базисному периоду, обозначим «₀», а относящиеся к отчетному периоду – «₁». Тогда базисная выручка составит Q₀=p₀q₀ = 100*5 = 500 (руб.), а отчетная выручка составит Q₁=p₁q₁ = 150*7 = 1050 (руб.). Таким образом, выручка увеличилась на ΔQ = Q₁ – Q₀= 1050 – 500 = 550 (руб.) или i_Q = Q₁/Q₀ = 1050/500 = 2,1 (раза). Это изменение выручки необходимо разложить на факторы, которые его вызвали. Таких факторов два: изменение цены и количества. Обозначим изменение выручки за счет цены ΔQp, а за счет количества - ΔQq.

Классическим методом выполнения факторного анализа является использование двухфакторной мультипликативной индексной модели следующего вида: i_Q = i_qi_p, где i_q = q₁/q₀, а i_p= p₁/p₀.

В нашем примере: i_q = 150/100 = 1,5 и i_p = 7/5 = 1,4, тогда i_Q = 1,5*1,4 = 2,1. Теперь, классически считая, что q – это первый фактор (при неизменной цене), а p – второй (при изменившемся количестве) получим:

ΔQq = (i_q – 1)Q₀ = (1,5 – 1)*500 = 250 (руб.)

ΔQp = i_q(i_p – 1)Q₀ = 1,5*(1,4 – 1)*500 = 300 (руб.)

Проверка: ΔQq + ΔQp = 250 + 300 = 550.

Теперь, меняя факторы местами, то есть считая, что p – это первый фактор (при неизменном количестве), а q – второй (при изменившейся цене) получим:

ΔQp = (i_p – 1)Q₀ = (1,4 – 1)*500 = 200 (руб.)

ΔQq = i_p(i_q – 1)Q₀ = 1,4*(1,5 – 1)*500 = 350 (руб.)

Проверка: ΔQq + ΔQp = 200 + 350 = 550.

Вышеизложенный подход факторного анализа является классическим, но он не учитывает, что обычно оба фактора (изменение цены и количества) влияют на анализируемое явление одновременно, а не один после другого. Следовательно, классический подход дает неверный результат.

Для решения этой проблемы – проведения факторного анализа одновременного влияния двух факторов – воспользуемся геометрическим подходом. Обозначим одну сторону прямоугольника q₀, а другую – p₀, тогда его площадь будет равно базисной выручке Q₀ = q₀p₀.

Отчетную выручку Q₁ изобразим в виде площади второго прямоугольника (большей площади), в который трансформируется первый прямоугольник с площадью Q₀ при изменении его одной стороны с p₀ до p₁ и другой стороны с q₀ до q₁.

Как видно из рисунка Q₁ = Q₀ + q₀Δp + p₀Δq + ΔpΔq, тогда общее изменение выручки состоит из трех составляющих:

ΔQ = Q₁ – Q₀ = q₀Δp + p₀Δq + ΔpΔq,

где q₀Δp – изменение выручки (площади прямоугольника) за счет изменения только цены; p₀Δq – только количества; ΔpΔq – взаимного влияния изменений цены и количества друг на друга (закрашено серым на рисунке).

В нашем примере: q₀Δp = 100*2 = 200 (руб.); p₀Δq = 5*50 = 250 (руб.) и ΔpΔq = 2*50 = 100 (руб.). Проверка: ΔQ = 200 + 250 + 100 = 550 (руб.).

Третья составляющая ΔpΔq определяется факторами изменения цены и количества, поэтому ее необходимо разложить на эти две составляющие и прибавить к первым двум слагаемым общего изменения. Немного преобразуем эту составляющую:

Для разложения полученной величины (i_q-1)(i_p-1)Q₀, то есть закрашенной на рисунке площади, нужно определить, какую ее часть отнести к фактору изменения цены (Δp), а какую – изменению количества (Δq). Сделаем это пропорционально изменениям цен и количества, то есть доля изменения цены составила

Доля изменения количества составила

Тогда получаем новые формулы для двухфакторного анализа:

Можно выполнить элементарные преобразования с полученными формулами и перейти к следующим:

В нашем примере:

ΔQp = (2,1*1,4-1,5)*500/(1,4+1,5) = 248,3 (руб.)

ΔQq = (2,1*1,5-1,4)*500/(1,4+1,5) = 301,7 (руб.)

Проверка: ΔQ = 248,3 + 301,7 = 550 (руб.).

Предложенный подход факторного анализа может быть использован для любых случаев, когда 2 фактора мультипликативно влияют на результат, причем их влияние одновременно, а не один после другого как предполагает классическая модель факторного анализа.

01.03.2009 Чалиев А.А.
Статья представлена на Международной научно-практической конференции (22-23 апреля 2009)
"Финансово-экономические процессы
в условиях современного кризиса"